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TABLE DES DIVISEURS |
POUR TOUS LES NOMBRES
DU PREMIER MILLION.
Cet Ouvrage se trouve aussi à mon Dépôt de Librairie, quai des Augustins, n° 57.
Prix des trois millions réunis en un volume in-4°.......... 50 fr. On vend séparément chaque volume , savoir :
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TABLE DES DIVISEURS
_{_ POUR TOUS LES NOMBRES
DU PREMIER MILLION,
OU PLUS EXACTEMENT,
DEPUIS 1 À 1020000, AVEC LES NOMBRES PREMIERS QUI S'YY TROUVENT;
Par JŸCr) BURCKHARDT,
Membre de l’Académie des Sciences dans l’Institut Royal, du Bureau des Longitudes de France, et de plusieurs autres Sociétés savantes.
PARIS, M" V® COURCIER, Imprimeur-Libraire pour les Mathématiques, rue du Jardinet, n° 12.
1817.
INTRODUCTION.
Lis différentes Tables qu’on a publiées pour l’usage des Mathématiques, ont pour but de faire trouver, avec très-peu de peine, des résultats qui auraient exigé beaucoup de calculs. Sous ce rapport il y en a peu qui surpassent les Tables de facteurs, car on y trouve, par la simple inspection, des nombreux résultats, dont chacun aurait pu coûter une journée entière à un calculateur exercé. Aussi le célèbre Euler a-t-il désiré la publication d’une telle Table, et il n’a pas dédaigné de publier un grand Mémoire sur la manière de la construire. La méthode que jai suivie me paraissant surpasser celles qu'on a proposées jusqu’à présent, je vais lexposer en peu de mots.
Si lon voulait chercher, par des essais, les diviseurs de chaque nombre, il faudrait des années pour construire une telle Table : il sera bien plus simple de former, par des additions successives , les multiples des nombres premiers, jusqu'à ce que le dernier surpasse la limite de la Table. Pour mettre ce moyen en pratique, on se procure, à l’aide de l'impression, des tableaux divisés en 5oo petits carrés, par 10 lignes verticales et 5o horizontales ; chacun de ces carrés appartient à un des 5oo nombres impairs qui se trouvent dans chaque mille, et il est destiné à recevoir les diviseurs du nombre. En écrivant en tête de chaque tableau les 1000, 2000, 3000, etc., on obtiendra la suite complète des nombres impairs. Il serait inutile de conserver les nombres pairs, leur premier facteur étant toujours 2. Actuellement, pour trouver les cases où il faut inscrire le diviseur 7, il sufira de prendre, avec un compas, l’intervalle de sept cases, de mettre une des pointes du compas dans la case appartenante au nombre 7, la seconde pointe indiquera celle du premier multiple impair de 7; on y inscrira donc un 7. En répétant cette opération, on marquera tous les nombres qui ont le facteur 7. Pour inscrire le diviseur 11 dans les carrés convenables, on donnera au compas l'ouverture de onze cases, et on partira du carré appartenant au nombre 11.
Tel est l'esprit d'une Méthode proposée par M. Hindenburg (1) : elle est d’une grande simplicité ; on peut pourtant objecter, qu’on fait la moitié de l’ouvrage en pure perte; car dans les Tables imprimées on rejette les nombres divisibles par 3 ou par 5, ce qui oblige de copier au net la partie de l'ouvrage qu’on conserve. Jai évité ces deux inconvéniens, et j'ai obtenn en même tems que dans mes Tableaux imprimés les facteurs 7 et 11 fussent déjà inscrits dans leurs cases ; avantage considérable , vu la fréquence de ces diviseurs. Pour cet effet, j'ai fait tracer sur une planche de cuivre 81 lignes horizontales et 78 verticales, de sorte que j'ai obtenu 80 fois 77 petits carrés : en marge des lignes horizontales on a gravé les 80 nombres, qui sur 300 ne sont divisibles ni par 2, ni par 5, ni par 5. Sur les épreuves que cette planche fournissait, j'inscrivais en tête des colonnes verticales, les centaines, de 5 en 5, et j'obtins le développement des nombres impairs, qui ne sont divisibles ni par 5, ni par 5. Pour y inscrire le diviseur 15, il suffit de remarquer qu'après 15 colonnes verticales, ce facteur retournera dans le même ordre, puisque la distance d’une colonne à l'autre est toujours de 300. Ayant pris d’une feuille superflue un morceau large de 13 colonnes, j'y ai marqué les carrés que le diviseur 13 devait occuper, et je les ai découpés. En appliquant ce morceau, qu’on peut appeler châssis, sur mes feuilles, il ne restait qu'à inscrire le nombre 15 dans les cases qui se voyaient à travers les carrés découpés.
QG) Beschreïbung einer ganz neuen Art, nach einem bekannten Gesetze folgende Zahlen durch Abzaehlen oder Abmessen
be quem und sicher zu finden, etc. etc. Leipzig, 1776 , in-8°. Du reste, l'idée primitive paraît appartenir à Eratosthène.
b
De plus, il est évident qu'ayant donné à mes feuilles 77 (—7 fois 11) colonnes verticales, les diviseurs 7 et 11 occupaient les mêmes carrés sur chaque feuille ; on a donc pu les graver d'avance sur la planche de cuivre; ce qui a procuré une économie sensible de tems, car le premier diviseur se répète 880 fois sur chaque feuille, et le second 480 fois. Si l’on ajoute qu'un châssis contient toujours 80 carrés découpés, de sorte qu’il indique d’un seul coup 8o endroits, où il faut inscrire le diviseur dont il s’agit, on conviendra que cette nouvelle méthode surpasse de beaucoup l’ancienne (1).
Quant aux facteurs qui surpassent 5oo, j'ai préféré de trouver les multiples par des additions successives; pour élaguer ceux qui ont déjà un facteur inférieur, il suffit de se rappeler que le second facteur est nécessairement un nombre premier. Soit, par exemple, 997 le diviseur donné, et 997 x 1021 = 1017957 le premier multiple ; le second nombre, qui aura 997 pour plus petit diviseur, sera 997 X 1031, puisque 1031 suit immédiatement 1021 parmi les nombres premiers. La différence entre 1031 et 1021 étant 10, il faudra ajouter 10 X 997 à 1017957 pour obtenir le second nombre, dont le plus petit diviseur est 997. J’ai donc construit une Table des différences des nombres premiers, et une autre des 17 premiers multiples pairs de 997; à l’aide de ces deux Tables, j'ai pu déterminer très-rapidement tous les nombres ayant 997 pour plus petit facteur, sans écrire un seul chiffre inutile. Le dernier multiple compris dans la limite de la Table a été vérifié par une multiplication directe. Cette méthode de calcul a fourni en même tems une vérification utile de la première partie de ce travail, faite à l’aide des châssis ; car chaque nombre obtenu de cette manière doit rencontrer sa case vide; dans le cas contraire, on a commis quelque part une erreur.
Quoique les opérations précédentes soient d’une grande simplicité, je n'ai pas négligé de les vérifier jusqu'à trois fois.
Il restait encore un grand travail, celui de surveiller l'impression de cet ouvrage ; une négligence dans cette partie aurait rendu inutiles les soins qu’on s’était donnés pour l'exactitude du manuscrit. Heureusement M. Daussy fils a bien voulu partager ce travail pénible avec moi; secours d'autant plus utile, qu'une seule personne est exposée à passer la même faute à plusieurs reprises. Jose donc me flatter qu’on trouvera ces Tables d’une très-grande exactitude.
ÎWanière de se servir de cette Table.
Chaque page est divisée en trois parties, par trois bandes en plus gros caractère, qui contiennent
les cinq premiers et plus hauts chiffres de chaque nombre. La largeur des colonnes n’a pas permis .
de mettre ces cinq chiffres dans une même ligne horizontale : les trois premiers (les millions, les cent mille, les dix mille) se trouvent immédiatement au-dessus des deux autres (les mille et les centaines.) Comme ces trois chiffres varient lentement, on ne les a pas répétés à chaque colonne , mais seulement lorsqu'il y a un changement. Les deux derniers chiffres de chaque nombre (savoir les dixaines et les unités) sont imprimés dans la première colonne de chaque page. Dans l'intersection de la colonne verticale avec la ligne horizontale, se trouve le plus petit facteur du nombre; s’il n’y a pas de chiffres, mais un —, le nombre proposé n’a pas de facteurs. Soit cherché le facteur de 1020017, on prendra à la premitre page la deuxième colonne verticale et
1.2.4.6.10.192...(p—1.) indiquera le rapport du nombre des cases qui n’ont pas encore de facteur, au nombre total des cases. On obtiendra la valeur de cette fraction à l’aide de la loi remarquable trouvée par M. Legendre (voyez sa L'héorie des Nombres, p. 396), ce qui sans ce secours ne serait pas aisé, pour peu que le nombre p fût considérable.
(Gi) Lorsqu'on a inscrit tous les facteurs jusques et compris le nombre premier p, la fraction
DAT 2 -
vij
la cinquième ligne horizontale (sans compter les têtes); leur intersection est occupée par le nombre 17, qui est le plus petit diviseur du nombre proposé.
Soit donné 1509457, on le trouvera page 55, 2° bande, 15° colonne verticale, 11° ligne horizontale (en ne comptant pas la tête 94), et dans l'intersection un —; donc e’est un nombre premier.
Tout nombre qui ne finit ni par cinq, ni par un nombre pair, et qui ne se rencontre pas dans cette Table, est divisible par 5.
Tout nombre du dixième million qui a pour plus petit diviseur le nombre 127, ou un plus grand, aura nécessairement un nombre premier pour second facteur. Un tel nombre ne convient donc pas aux ouvrages d’horlogerie, ni en général aux cas qui exigent que le nombre puisse se décomposer en petits facteurs. Dans la première moitié du deuxième million , il sufht même que le plus petit diviseur soit 113 pour que ce cas arrive.
Lorsqu'on veut avoir tous les diviseurs d’un nombre, on le divise par le facteur trouvé, et on cherche ceux du quotient dans les Tables publiées antérieurement, comme celles de MM. Lambert, Vega, Lidonne et Chernac (1). Par exemple, 1020017, divisé par 17, donne 60001, dont les facteurs sont 29 et 2069. C’est pour faciliter cette division, que nous avons ajouté, à la fin de cette Introduction, une Table contenant les multiples de tous les facteurs qui se rencontrent dans notre Table.
Il y a un petit avantage de commencer la division par le dernier chiffre; par exemple, 1673129 a le facteur 929. Les deux derniers chiffres du nombre donné (29) indiquent que les deux derniers du quotient seront o1; en ôtant g de 31 reste 22; donc la finale du troisième reste est 2, et par conséquent 8 le troisième chiffre du quotient; et comme le premier est évidemment 1, on a 18o1 pour le quotient cherché.
Prenons pour second exemple 1810621, dont 929 est le premier facteur. Le dernier chiffre du quotient sera 9, et en Ôtant neuf fois 929, ou 8561, restera 226, dont la finale 6 donne 4 pour avant-dernier chiffre du quotient. On ôtera les deux derniers chiffres du quadruple de 929 (ou 16), de 26, le reste prouve que 9 est le deuxième chiffre du quotient ; le second facteur sera donc 1949.
1673129 1810621
o1 fois 929... 929 Q (DIS 929...:2: *561
227 26
8 fois 929... *2 ÆAOIS 020%. es 16 0) 1
9 Fois 929. ....:.
(1) Cette dernière Table est la plus complète et la plus exacte ; elle finit justement où la mienne commence, et le format est le même. M. Chernac a donné tous les diviseurs, ce qui épargne la petite peine de la division ; il ne m'aurait coûté que bien peu de travail de plus pour suivre cet exemple; mais je ne pouvais pas me flatter de voir l'impression d’un aussi gros volume. Quand même j'aurais eu cet espoir, j'aurais préféré de donner un seul facteur pour aller jusqu’à 10 millions, puisqu’un tel volume , combiné avec l'ouvrage de M. Chernac , donnerait toujours tous les diviseurs par une SEULE division, quand même leur nombre serait très-considérable. Tel était mon projet primitif et je n’y renonce pas tout à fait, au moins pour les troisième et quatrième millions ; car une grande partie de ce travail est achevée, etle reste peut être confié à un aide payé, étant susceptible de vérification. Du reste, il ne sera pas inutile d’ajouter, que j'ai entrepris et fort avancé ce travail dans le tems qu'on s’occupait de comparer mes Tables de la lune à celles de M. Burg, circonstance qui m'empêchait de commencer d’autres recherches astronomiques ; que depuis je n’y ai employé que des momens perdus, ce que prouve mon travail sur le soleil, dont les résultats ont été publiés dans la Connaissance des Tems de 1816.
MULTIPLES DES FACTEURS.
7il 73| sol 83| 8 142! 146 188 Ë 194| 202| 206! a14
291| 303] 309! 321
213| 219] 237| 249) 267
388! 404 Fe 428 485] 50b| 515| 535 582| 6o6| 618] 642
-284| 292! 316| 332| 350 3581 365| 305| 415| 445 426| 438
97! 101! 103
2191/2219|2317 2648 2979
499 503| 50g| 521 |1018 1527
2350|24262443/2477 2606/277612702|2824
266277602702 2936/298413032/3064|31 12|317 033/31231314113157
330313359/3411134471850113523|3609!3681|3771[3789|3
1042
1046}1052|109{ 1563
1509k1623|16%1
2681/2723 2779 2807/2863/2033/2947 ao 303113073|3101/3143 12
3208/3272/3352|3308 544 34643512 |3544|3592
2036
2084/2092/2164|2188|: 2545|2605[2615/2705|2735 305413126/3138/3246/3282
|2252/22561228/|2308|2348|2372|230p) 2404/2428/2452|2{65 2815/2845/2855|2885|2035|2905|2995/3005|3035|3065|3085|309 3358/34143426/3462 [3522 /3558/35043606|3642|3678|3702
356313647136611378 4168
07214
5511689
709 1418
98313997 /4039/4100[4151]419 h4207 D RQ OAHE
07 4569 4923 5o13/5065/51a115130/5193|5255
= NI
249/4201/4319 441 441479244508 f350 4904 4936/4952 EN 53911409 5463/5515 5553,557115679 [57
474 5337
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926|_ 4938
591380703051 3987/404114113l4149l4167|4203|4311
2333l400l4485 501145204591 11| 4739 mb s4 ie # 95116949|6057| 6093| 6145
S21| S23| 827) 82ol 839l 853] 857] S5o 1642! 1646| 16541 1658] 1678! x _2463| 2400! 24811 2487
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14143] 4107! 4227] 4209|! 5506! 5036! 5692 5| Ggo5| Gc95| 7045 5286! 8304| 8454] 5538 9067! 0703] 0b63| 061 110481 1192/11272/11384 12429/12591/12681|12807
5692 muxS
PRÉFACE.
J ’Ar indiqué, dans l’Introduction en tête des autres Millions (2 et 3°), les moyens dont je me suis servi pour construire cette Table. Le quatrième Million devait achever le volume (*); des raisons de toute espèce n’ont obligé à préférer le premier Million , pour lequel j’ai employé les secours suivans. |
La bibliothèque de l’Institut royal possède un manuscrit contenant le plus petit diviseur des nombres depuis 1 jusqu’à 1008000 ; j'ai comparé avec soin cette Table à celle donnée par M. Chernac, et j'ai ajouté les 12000 qui manquaient au manuscrit. Ce travail a été beaucoup plus pénible que je ne croyais, soit que M. Schenmarck n’eût pas dû se servir de la méthode d’Euler , soit que les cinq élèves et amis qui s'étaient Joints au savant pro- fesseur de l'Université de Lund pour cet Ouvrage, n’y aient pas mis toute l’attention qu'il exige. Quand mon manuscrit différait de M. Chernac et que le nombre avait un diviseur, il était facile de décider lequel avait raison ; mais lorsque le nombre était premier, l’examen devint fort pénible ; car il ne suflisait pas de s'assurer que le diviseur indiqué ne Pétait pas, il fallait de plus constater que le nombre était réellement premier. Jai été obligé d'examiner de cette manière 236 nombres , depuis 400000 jusqu’à la fin du million : pour les fautes semblables qui se sont rencontrées depuis 1 jusqu’à 400000 , je me suis contenté de consulter les Tables de Vega, qui a toujours été d’accord avec M. Chernac. Quant à l'Ouvrage de ce dernier , je crois pouvoir assurer qu’il est d’une très grande exactitude, n'ayant reconnu que le petit nombre de fautes d'impression qui suivent :
398b9, aulieu de 15 /isez 25
65115, aulieu de 23.19 Zisez 19.23
68503, effacez le premier —, haussez tous les diviseurs de ce cent d’une ligne, et mettez un — au dernier nombre.
354029, au lieu de 11 //sez 13 |
545485 est premier ; les diviseurs appartiennent au nombre suivant, 545489.
580807 est premier ; il y a dans mon exemplaire 525.2609 ; mais 223.2609 fait 581807.
637447 est premier ; le produit de 197.5251 sur passe de 3000 le nombre donné.
769469 est premier ; 645.1665 — 1069509, mais 465.16605 — 769969.
785661 est premier ; les facteurs de M. Chernac appartiennent à 785671.
795083 est premier.
795089 = 67.11867 un filet tombé et mal replacé a produit ces trois fautes.
795091 = 11.11.6571
931219, aulieu de 25 Zisez 29
(”) Si la vente de ces trois premiers millions paraissait assez favorable au Libraire pour qu'il crût pouvoir se charger de
l'impression des 4°, 5° et 6° million, je n'aurais que peu de chose à faire pour achever le manuscrit.
MANIÈRE DE SE SERVIR DE CETTE TABLE.
Casque page est divisée en trois parties par trois bandes en plus gros caractère, lesquelles con- tiennent les premiers et les plus hauts chiffres de chaque nombre. La largeur des colonnes n’a presque jamais permis de mettre ces chiffres dans une seule ligne ; les deux premiers (les cent mille et les dix mille) se trouvent immédiatement au-dessus des deux autres (les milles et les centaines), et on ne les a pas répétés à chaque colonne, mais seulement lorsqu'il y a changement. Les deux derniers chiffres de chaque nombre, savoir, les dixaines et les unités, sont imprimés dans la première colonne de chaque page; et c’est dans l'intersection de la colonne verticale avec la ligne horizontale qu’on trouve le plus petit facteur du nombre, ou un —, lorsque le nombre n’a pas de diviseurs. Cherchons par exemple les facteurs de 764241; on prendra, pag. 88, la sixième colonne verticale et la onzième ligne horizontale (sans compter les têtes) ; leur intersection est occupée par 55, qui est le plus petit des diviseurs du nombre proposé.
Soit donné 785809 ; on le trouvera page 88, deuxième bande, onzième colonne verticale , quatrième ligne horizontale, et dans l'intersection un — ; donc c’est un nombre premier.
Tout nombre qui finit par o, 2, 4, 6, 8 est divisible par 2; il l'est par 5, s’il finit par 5 ou par o. Il était donc très naturel de ne pas les imprimer dans cette Table, puisque l'inspection seule du dernier chiffre fait connaître le plus petit diviseur.
Tout nombre qui ne finit ni par 5 ni par un nombre pair, et qui ne se trouve pas dans cette Table, est divisible par 5 ; on n’en aurait pas appris davantage si le nombre s’y fût trouvé. On reconnaît aussi qu'un nombre est divisible par 5, lorsque la somme des chiffres qui le composent est un multiple de 3; par exemple 1001001, 111777 sont évidemment divisibles par 3.
Lorsqu'on veut avoir tous les facteurs d’un nombre, on le divise par le facteur trouvé, et l’on cherche de nouveau celui du quotient. Soit donné 2591978 ; en le divisant par 2 et par 5 on obtient 598665, qui a le facteur 29, selon page 45. Le nouveau quotient sera 15747, dont 59 est diviseur, selon page 2. Le dernier quotient est 235, qui est un nombre premier, selon page 1 : on aura donc 2391978 = 2.5.29.59.233.
Cest pour faciliter ces divisions que j'ai donné, à la fin de l’Introduction du deuxième Million, les multiples de tous les facteurs depuis 11 jusqu’à 1425 (*).
Le cube de 100 étant un million, il s’ensuit que dans le premier Million tout nombre se le plus petit facteur surpasse 100, n’en peut avoir que deux. Le second diviseur sera donc en général très grand , et ne conviendra pas aux problèmes qui exigent que le nombre employé puisse se décomposer en petits facteurs. Dans la première moitié de ce Million, il suffit même que le plus petit diviseur surpasse 79, pour que ce cas arrive; et pour les nombres au-dessous de 200000, ils n'auront que deux facteurs aussitôt que le plus petit diviseur est 53 ou plus grand.
Lorsque les conditions du problème exigent que le nombre ait quatre facteurs, on trouvera la
(*) 1 semble qu'on fera bien de recommander au Relieur de mettre cette Introduction, qui n'a que 4 pages , immédia-
tement après la Préface actuelle , afin que cette Table auxiliaire soit au commencement de l'Ouvrage.
EP + A
limite que le plus petit diviseur ne doit pas surpasser, par les Tables des quarrés employées deux fois. Par exemple le quarré de 1733 surpasse 5000000, et celui de 45 est plus grand que 1733; donc pour les trois premiers Millions, tout nombre dont le plus petit diviseur est 43 ou plus grand, ne
peut pas avoir quatre facteurs ; il en aura tout au plus trois. Différens moyens pour étendre l'usage de cette Table.
La proposition très connue, que si deux nombres ont un facteur commun, leur différence est un multiple du même facteur, va nous servir pour examiner d’une manière prompte et facile des nombres qui excèdent la limite de notre Table. Soit le nombre proposé 16775121, qui n’est divisible ni par 2, ni par 5, ni par 5 (s'il l'était on commencerait par exécuter ces divisions). La page 74 du deuxième Million montre que 1677513 a le diviseur 7; donc ce même nombre augmenté d’un zéro, ou 16773150, pourra aussi se diviser par 7; la différence entre ce dernier nombre et le nombre donné étant ce je qui n’est pas un multiple de 7, il s’ensuit que 7 n’est pas facteur du nombre donné. Notre Table indique de même que 1677511, et par conséquent 16775110, a pour diviseur 59; la différence entre ce nombre et le nombre donné (savoir 11) n’est pas un multiple de 59; donc 59 n’est pas facteur du
nombre proposé. Nous avons multiplié les nombres de la Table par 10, à cause de la facilité du calcul; mais on
peut choisir tout autre nombre de la forme 2*.3”.B7, Les nombres premiers peuvent servir au même usage ; par exemple 1681405 étant premier 4 LA \ Lré ma ? 16814050 n'aura que les facteurs 10 et 1681405 ; or 16814050 — 16775121 — 40909 = 11 X 3719 : donc ni 11, ni 5719 ne peuvent diviser le nombre donné. ) 719"n€ P
Un second moyen s’employe avec avantage, lorsqu'il est permis d’altérer un peu le nombre proposé, ce qu’on fera de manière que le nombre acquière des facteurs faciles à reconnaître, et qui donneront un quotient qui n'excède pas la limite de notre Table. Nous prendrons pour exemple le nombre qui exprime la circonférence d’un cercle dont le diamètre est un, et qu'on veut décomposer en facteurs afin d'obtenir le logarithme hyperbolique.
La Table donne 3141595 = 7.13.19.25.79; mais on approchera encore plus en prenant 5141 5925 (qui est divisible par 25, ce qui le réduit dans la limite de notre Table); ainsi 514159225—5.5>. 373.1123. On approchera encore plus en prenant 5141592656 = 5°.5,7.127.7855. En ajoutant ces logarithmes et en Ôtant 8 fois le logarithme de 10, on aura (*)
log 5.14159265 = 1.1447298847067351963521984427424. Ce logarithme ne s’éloigne de celui de æ que dans la g° décimale. Si l’on veut plus d’exactitude, on
F w 3 A EE — æ, et on cherchera log 1 + æ& par as Et Hi fera 32150208 1—+ ax, g1—+a par la formule connue « UE Dee.
Ici &« — 11426666784640724771495.107%", et en achevant le calcul on aura log hyp. + = 1.144729885849400174143427,
exact jusqu’à la 24° décimale. On approchera encore plus rapidement en cherchant deux carrés dont la différence soit égale au
RE RS On md nee 7 (*) Nous obseryons qu’il y a une faute d'impression dans les Tables de Schulze et de Vega : le log hyp. de 1853 est 8.968... au lieu de 8.967...
nombre donné, par exemple (17972454) = 514595182116 % — 514926535590; la différence 528526 — 727* à très peu près; donc m = (17792454 — 727") = (17972454 + 727) (1772454 — 727) = 1775181 X 1771727. Mais le premier facteur étant un nombre premier, cette formule ne peut pas servir. Néanmoins, ce
produit ne changera pas sensiblement en augmentant un des deux facteurs d’une petite quantité, et en diminuant l’autre de la même quantité, par exemple de -, ce qui donne
17751808 X 17717272 = 2%.19.175.229.509.3205 — 514159265587776.
Je prendrai pour second exemple le rapport du tems moyen au tems sydéral; comme dans une
ReE
HE : : : 365 année les étoiles font une révolution de plus que le soleil, ce rapport sera 35, ou plus exacte- 3652 1461 MENÉS 468 on essayera au lieu de la fraction + d’autres approchantes, par exemple :7, et on aura PE 79 02 Robe AL
229 — Bi 7g — 51.79 — 9972690794 ;
la vraie valeur est cac RGSEEE En ôtant de cette fraction le double de la première, on aura...
Fe = DRE = — 0.997269455, rapport qui est deux fois plus approché que le précédent. Enfin
10592 __ 32 X 551 331 10691 — 43 X 247 247
Ce dernier rapport est fort approché, mais le numérateur est un nombre premier;
= 0.997269560 ne s’écarte presque pas du rapport exact. Il ne me reste à dire que quelques mots sur la petite Table qui remplit la dernière Dee du premier
Million; elle donne la plus petite valeur de x qui pour un nombre premier p rend — un nombre
entier , et où il faut se rappeler que lorsque x est pair , le numérateur est égal à (és 1)Gc ee ) Nous n’en citerons qu'un seul usage, qui dépend de la régle suivante : si p divise 10"+ 1, par- tagez un nombre donné B en tranches à m à m chiffres, leur somme doit être divisible par p pour que B le soit lui-même ; mais si p divise 10"—1, la différence entre la somme des tranches paires et celle des tranches impaires doit être divisible par p.
Par exemple 41 et 271 exigent des tranches de 5 chiffres dont la somme doit être divisible par 41 ou par 271, pour que le nombre donné le soit aussi.
ERRATA.
Page 50, nombre 446oa1, diviseur imprimé, 573, lisez 577 Ibid , 446023, 197, lisez 193
1
PO og NE lets 55 |56 3 slals \s4157 60 63166 cale (rs ele: [84e = 7| —] 19) —] 19) — 37 —] —| 13 7 —Ù —| 11] —{ 17 — 7| 67| 191 13] 2 —| 31 7| | | —] —| xl ui) 13 7 —À1 31) —| — —|'énrli=IN=|6r31— 7l —| —| — 3n| rt 7l — —| —| 13 —] A | — — À —| 7) 235 13] 3179 er —| un] — 1 —| 13] 3r —| —| —| cl | 17 7 —| 19) —1 23] —| — | —| 1 —|\\i—)Ma9 59! 1 31 137 TR EP PL PR D Cm D 7 mi in Pr LR Par ns A Hs A om EL —| 11! —] —| 93] 7 17) 13] 41 —] —| —| 7 NO: NIMES IE 11 1|P22 10 Ines AE De RU LE | nl Leg = US 47 11] 59 7 a lie tt _— 71 19 —|] —\ 11] 31) — 7| —1 13] —| x 7 11] 2 Gr] 17 13 =) 10 1] Pie) 7 lin | | —] —| 11 1 7) —| — 23| —| 7) —| 11 29 4 47 —| — LE 2) M ES A ro 1 Et LE ES) A sn M 2 ob 120 rm D EUR NS D 7) NES) 0e) —| —] —| 53 111 7 19) 471 53] —[ — IT |: 7-33: — —| 7) —\ 23] 11] —] 19 —\] 7 13] 17) —] —| — 7l 29] 37) —| — 53 ail 17) —| 9 Se ao = no neue —|. 37, —{::13l > — TR=MSIRS 7 —\ 11 13] 1] —] 43] 7 31l —| —| 17] 41) 1 —| 19] 19) —| — = 47| 29) 7] 1 =) —| —| 7] —| 179) —| 11] —Ù 43] 7| 13] 59 29/0223/ tr le mi 17 MOTTE ere reel = 13 43 53 1 — = 29) 41} 11} 19 —| 19) —| 31] 13] 79] —| —| 23| 11 dE ee 7 . 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